Calcul position des frettes : quart de ton

[Khalid]

Pour le projet Les Paul orientale en cours, je me pose la question de comment calculer la position des frettes quart de ton.
La dificulté est de déterminer la première frette quart de ton (qui se situe entre la 2º et 3º frette), car à partir de là et via un calculateur de frettes on peut retrouver exactement les autres (en prenant la diantance sillet de chevalet-1º frette quart de ton comme étant un nouveau diapason). Les tentatives dans la matière partent du principe qu'il faut simplement diviser la 3º case en deux, mais il me semble que c'est très aproximatif comme approche. Des opinions en la matière?

[Fransgreg]

Tu peux simuler ça avec une corde entre deux clous et des frettes mobiles en-dessous, avec un accordeur électronique à côté. Quand c'est bon, tu mesures ?

[Khalid]

Il y a des accordeurs qui donnent précisement le quart de ton (les deux ou trois que j'ai déja utilisé ne le permettent pas)?

[Fransgreg]

Les accordeurs (même l'application de mon smartphone) donnent les cents ou les Hz. Je crois que 50 cents ce sera un quart de ton. Pour les Hz, il y a un calcul à faire, mais je ne maitrise pas ça.
Le tout est de d'abord connaître les chiffres à atteindre. En cents, ça peut marcher, par exemple tu pars d'une note, mettons le La 440Hz, et de là tu places ta frette pour avoir 50 cents de plus ...

[Khalid]

Ok, à essayer

[Gazalain]

Si ça peut t'aider
I. Calcul des fréquences (par rapport à une fondamentale)
On appelle fondamentale la note de départ d'une gamme.

Différentes notes par rapport à une fondamentale (ici le La) :

Nom La (fondamentale) La# Si ... La (octave)
Rang / Degré 0 1 2 ... 12
Case sur la guitare n n+1 n+2 ... n+12
NB : la GBTT de fondamentale la est composée des notes suivantes :
la ; la# ; si ; do ; do# ; ré ; ré# ; mi ; fa ; fa# ; sol ; sol# ; la (cette fois ci à l'octave)
L'intervalle entre deux de ces notes consécutives est appelé un demi-ton ; deux demi-tons correspondent à un ton.
On remarque que si# est la même note que do, de même pour mi# et fa.
Il faut aussi savoir que le bémol est l'«inverse» du dièse : ainsi, sib et la même note que la#.

I. A Fréquence d'une note à l'octave
Une note à l'octave à une fréquence double par rapport à la fondamentale : l'octave est l'intervalle entre une note de fréquence n et celle de fréquence 2n, est correspond donc à 12 demi-tons.

Soit f0 la fréquence de la fondamentale
f1 la fréquence de la fondamentale à l'octave

Relation octave
De même, si on considère que la fondamentale est de fréquence f1, alors la fréquence f2 de cette nouvelle fondamentale à l'octave est telle que :

Relation octave 2
En général Relation octave générale avec n nombre d'octaves (donc n est un entier naturel).
NB : la suite des fréquence des notes aux octaves (0 octave = fréquence de la fondamentale, 1 octave, 2 octaves, etc...) est la suite géométrique de raison 2 et de terme initial la fréquence de la fondamentale.

I. B Fréquence d'une note de la gamme de rang n par rapport à la fondamentale
Soit une note de rang n et de fréquence fn
Sa note à l'octave sera de rang n+12 et de fréquence fn+12
On a donc : Relation rang-octave

Chaque note de la gamme peut être considéré comme une fondamentale, point de départ d'une nouvelle GBTT de cette note.

Soit n un rang quelconque, Rapport mu reste constant.
En effet, Rapport notes (il s'agit là d'une propriété de la GBTT)

Donc Relation fréquence-rang, et par conséquent, on a : Relation fréquence-rang 2

En général Relation rang générale

De plus, Calcul de mu
Mu

Soit une note de rang n et de fréquence fn
Soit f la fréquence de la fondamentale

Relation numérique entre rang et fréquence
Donc Relation numérique générale entre rang et fréquence avec n un entier relatif.
NB : la suite des fréquences des notes de la gamme est une suite géométrique de raison Racine 12e de 2 et de terme initial la fréquence de la fondamentale.

II. Calcul de la disposition des frettes
Nous avons jusqu'à maintenant parlé des relations qu'il existe entre une fondamentale et des notes d'une même gamme (la GBTT).
Il nous reste à déterminer la position des frettes (les frettes séparent le manche en demi-tons) : quelle distance sépare la nième frette du sillet ?

II. A Rappel
Si on veut que la fréquence d'une corde soit multipliée par n, il faut diviser la longueur vibrante par n (ceci a été démontré dans la partie cordes).

Soit f la fréquence d'une corde de longueur L
f' la fréquence d'une corde de longueur L'
k un réel

On a : Rappel tension fréquence

II. B Longueur vibrante de la corde correspondant à une note
Soit fn la fréquence d'une note de rang n, par rapport à la fondamentale (on prend ici comme fondamentale la note que donne la corde à vide de longueur L, de fréquence f)

Soit Ln la longueur du segment de la corde qui engendre la note de rang n. Autrement dit, Ln est la distance entre le chevalet et la frette n.

On a : Longueur segment corde avec n un entier naturel.

II. C Rapport des distances entre le chevalet et deux frettes consécutives
En reprenant la formule précédente et avec L la longueur de la corde (distance entre le sillet et le chevalet) et L1 et L2 les distances entre le chevalet et respectivement la 1ere et la 2e frette, on a :

Relation distance

Ainsi Le rapport des distances entre le chevalet et deux frettes consécutives est de Racine 12eme de 2

II. D La position des frettes
Soit Pn la position de la frette n (distance entre le sillet et la frette n) :

Position frettte
avec n un entier naturel.

L, Ln, et Pn sont tels que sur le schéma :
L : longueur de la corde à vide ; Ln : distance entre la frette n et le chevalet

Résumé
Rang 0 (fondamentale) 1 2 n 12 (octave)
Fréquence f 21/12f 21/6f 2n/12f 2f
Longueur vibrante de la corde L 2(-1/12)L 2(-1/6)L 2(-n/12)L L/2
Position de la frette 0 L(1-2(-1/12)) L(1-2(-1/6)) L(1-2(-n/12)) L/2

[Khalid]

Merci Alain pour le copy-paste résumé (http://sculsnay.free.fr/tpe/frettes.html" onclick="window.open(this.href);return false;)
Avant de m'atteler à une analyse de cette méthode, je vais faire l'école buissonnière et explorer d'autres chemins .

[Fransgreg]

Apparemment, tu peux y arriver avec ceci : http://www.dougsparling.com/software/fretcalc/index.php

Tu le télécharges, puis tu règles ton diapason (scale length). Ensuite, tu règles le Calc Meth sur Non 12-tone, et tu introduis ton nombre de frettes (48). Après, tu retiens celles qu'il te faut ...

[Khalid]

Super François. Ça fonctionne parfaitement. La note quart de ton ne correspond pas à la demi distance entre deux frettes. Merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

[Fransgreg]

Heureux que ce soit bon !

[mehoul]

la fréquence du premier quart de ton au-dessus du La 440 est 440*2^(1/24) = 452.893, disons 453Hz.

A partir du Mi aigu de la guitare, c'est 330*2^(1/24) = 339.67, disons 340Hz.

Le quart de ton situé entre les frettes 2 et 3 est à 330*2^(3/24) = 359.87 ~ 360Hz

[Khalid]

Merci Mehoul. Super François a déniché l'outil idéal, ainsi c'est beaucoup plus fiable.

[Benoit de Bretagne]

fais des frettes en boyaux(luth) ou amovibles !



Benoit de Bretagne

[mehoul]

Hum! pas sûr qu'elle soit très agréable à jouer cette guitare avec ces rails sur la touche. Et en plus on ne doit pas pouvoir bender (même avec du viegra).

[Benoit de Bretagne]